LLM Theory: SMD 02 - Angular Update 才更接近真实改变量

Sun, 17 May 2026 17:56:11 +0800

本文是 LLM Theory 下 SMD 专题的第二篇。上一篇主要把 SGD、SGD + weight decay、Adam、AdamW 的径向/切向更新拆开了；这一篇继续沿着这个拆法，讨论几个笔者读 SMD 时觉得更关键的 insight。

Insight 1：为什么只看 Effective Learning Rate 不够

在讨论 normalization 和 weight decay 的联合作用时，有一句非常关键的话：

对于 scale-invariant weight，任务梯度 $\partial L / \partial \boldsymbol{w}$ 总是与权重 $\boldsymbol{w}$ 垂直。因此，梯度分量总是倾向于增大权重范数，而 weight decay 提供的分量总是倾向于减小权重范数。

这句话其实就是 SMD 的基本物理图像：

\text{任务梯度} \Rightarrow \text{切向更新，改变方向，同时二阶增大范数}

\text{Weight Decay} \Rightarrow \text{径向更新，缩小范数}

也就是说，在带 normalization 的网络中，SGD 梯度并不是在普通欧氏空间里随便走，而是在球面的切线方向上推动权重转动；weight decay 则像一个向心力，把权重往原点拉。两者共同作用，最终可能让 weight norm 进入一个稳定状态。

但是这里有一个很容易被忽略的问题：

Weight decay 可以对冲掉梯度更新导致的 weight norm 增长，但这并不意味着 gradient norm 本身也被稳定住了。